n-m 问题

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告诉你N个数, 其中只有一个数出现m次, 其他的数都出现n次.求出现m次的那个数.

前言

前几天写了一个文章 位运算 的探究,然后有人问假设大部分出现的数字都是4个相同,只有一个是2个相同怎么做,这个问题我们可以称为4-2问题。

也就是说告诉你N个数, 其中只有一个数出现m次, 其他的数都出现n次,则称为n-m问题。

首先n肯定不能等于m了,且两个数都是正整数了。

之后n和m的关系有两个: n>m 和 n<m.

基本做法

请参考 位运算 的探究 的基础做法。

2-m 问题

如果 m为1,这个就是大家最常见的问题,大部分数出现两次,只有一个出现1次,直接异或所有数字就得到答案了。

我们也可以套用原理来解释。

按上面的分析转化为位操作的状态转移就是下表。

a one1 one2
0 0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 0

状态转移对应的公式就是

one = one^a;

如果m大于2呢?

如果m为奇数,还是可以转化为2-1问题的,即出现m%2次,但是如果是偶数就没办法解决了。

为什么呢?

假设b在前面的出现两次,b多次出现两次,加起来就是b出现2n次。

这样的话任何数都可以通过出现多次n次来到达m次,而我们是不能区分这个的。

有人说假设每个数字只会出现一个n次和一个m次不就行了嘛?

答案是不行的,因为我们我们会转化为微观位操作,这时就是统计0与1的个数了。

所以如果n是m的约数的话,我们只能采用上面的O(n log(n))基础做法了.

那如果不是约数会怎样呢,我们先继续向下看看就知道了。

3-m问题

假设m为1,就是上面的3-1问题,位运算 的探究 介绍的很清楚,下面我只把状态描述和公式一下吧。

ones = (ones ^ a) & ~twos;
twos = (twos ^ b) & ~ones;

然后如果m为2呢,这个和3-1问题的状态有哪些不同呢?
好像没有影响,我们只需要还是用那个状态和公式,最后答案会在 two 中罢了。

那如果m为大于3的数字呢?
由于3是质数,m又不能是3的倍数,所以m 模 3 不能等于0。 此时我们可以把m看做出现 m/3 个3次a和出现一个m%3次a吧。

这样有转化为3-m (3>m) 的问题了。

n-m 问题猜想

这里我们是不是可以得到结论了呢?

如果m%n ==0 的话,没有O(n)做法,否则有,而且问题可以转化为 n-(m%n) 问题。

通用公式

假设m不是n的倍数,那么我们能不能找到一个通用公式呢?

实际上现在已经于m无关了。

由于最多出现n次,所以我们需要 log(n) + !!(n&(n-1)) 个数字来表示状态。

注:现在下面只是一些推导,没有得到通用公式。

比如4-3 问题,log(4) + !!(4&(4-1)) = 2.

其实3-1的标准做法应该是下面的做法。最后两个数字需要进行或运算.

ans = onw | two;

状态原理如下

状态转移如下

a one1 two1 one2 two2
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
0 1 0 1 0
1 1 0 0 1
0 0 1 0 1
1 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 1 1 0 0

那状态转移公式我们能不能得到呢?

我们打出一张很大很大的表

a ~a one1 ~one1 two1 ~two1 a\^one1 one2 ~one2 a\^two1 ~(a\^two1) two2
0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0
1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0
1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1
1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0

然后发现

one = a^one1;

假设 two2 是和 a\^two1 或 ~(a\^two1) 异或得到的,则异或的那个数字就需要是 01000100 或 10111011 了。

简洁的式子有下面几个

a & one1  = "00010001";
a | one1  = "01110111";
a & ~one1 = "01000100";
a | ~one1 = "11011101";
a & two1  = "00000101";
a | two1  = "01011111";
a & ~two1 = "01010000";
a | ~two1 = "11110101";
a & one2  = "01000100";
a | one2  = "11011101";
a & ~one2 = "00010001";
a | ~one2 = "11011101";

然后发现 a & ~one1 和 a & one2 都可以。

也就是

  a & ~one1
= a & one2
= a & (a^one1)
two = a ^ two1 ^ (a & one2)

再根据 位运算 的探究 里面的高级公式,我们就可以得到

two= two ^ (a & ~one2)

而整个n-m问题的通用公式,等周末我推导一下吧,读者如果自己推导出来了可以留言告诉我。

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