二叉树的最近公共祖先并不简单

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本以为这是一道青铜题,谁知是王者题。

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一、背景

某一天中午吃饭的时候,一同事问我:怎么找二叉树的最近公共祖先。
我起初以为这是一道青铜题,真正了解题意后,发现这是一道王者题。

二、题意

给一棵树,以及树上的两个节点指针。
求这两个节点在树上的最近公共祖先。

如下图,
节点7和节点0的最近公共祖先是节点3
节点4和节点6的最近公共祖先是节点5

那该如何实现一个算法,找到两个节点的最近公共祖先呢?

三、链表相交思想

同时问我这个问题的时候,我首先想到的是链表相交,求第一个交点的算法思想。

如果每个节点有指向父节点的指针的话,我们就可以把给的两个节点当做链表头,树的根是链表尾部。
这样问题就转化为了求两个相交链表的第一个交点。

对应的思想是先遍历两个链表分别求出两个链表的长度。
然后对其长度,使得两个节点处于树的同一层。
最后同时向上遍历,判断是不是同一个节点,试了就找到交点了。

但是题目给的是一个普通的二叉树,没有父节点指针,所以就需要想其他方法了。

四、初级递归

面对树的问题,很容易想到递归处理。
同样,这个题也可以使用递归处理。

思路大概是:

  1. 先判断公共祖先是否在左子树,是则找到
  2. 再判断公共祖先是否在右子树,是则找到
  3. 当前根是不是公共祖先,是则找到
  4. 当前树没有公共祖先

这里有一个关键问题:怎么判断当前根是不是公共祖先呢?
这个貌似又是一个递归题,可以拆解为根是不是节点A的祖先和根是不是节点B的祖先。
两个同时满足了,根就是这两个节点的公共祖先。

这样这道题我们就做出来了,但是复杂度貌似有点高。
对于每个子树,都进行了判断根是不是祖先,这样就相当于双层循环,复杂度是O(n^2)

所以我们需要继续思考,有没有更简单的方法。

五、高级递归

其实,在初级递归的时候,复杂度之所高,就是需要在每个子树里判断一个根是不是两个节点的祖先。

这个判断在每个子树里是独立的,但是实际上树与树之间是有关系的。
比如当前树的左儿子是节点A的祖先,那当前树的根肯定也是节点A的祖先。

递归的时候,如果能服用这个信息,则可以将复杂度降低到O(n)

上面的递归代码需要返回三个值。
最近公共祖先通过返回值返回,没找到则返回NULL
两个节点是否找到使用参数引用的方式返回。

然后用下面的代码来判断,某个节点是否在当前子树里。

  1. 是否等于根
  2. 是否在左子树
  3. 是否在右子树
pCncestor = p == root || leftPCncestor || rightPCncestor; //if find p in root
qCncestor = q == root || leftQCncestor || rightQCncestor; //if find q in root

这样,这个道题我们就可以在O(N)内解决了。

当然,当时同事网上看的解题源码不是这种思想。
而是一种比较抽象的方法:只有一个返回值,含义是当前子树是否至少含一个节点。

这是一个返回值在不同的条件下含义是不同的。

如下图,如果根和某个节点相同,则返回根。
这里隐含两个含义:

1.如果两个节点都在这颗树里,根是其中一个节点,答案是根。
2.如果只有一个节点在这颗树里,那只能是根了,返回根代表找到了至少一个节点。

然后递归求出连个子树的状态,如果分别都找到一个节点,则代表根是节点。
否则说明这棵树只有一个节点,是谁就返回谁。

六、最后

这道题其实还蛮有难度的,一个递归需要返回多种状态。
状态一多,很多人就弄不明白了。

-EOF-

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