leetcode 第194算法比赛

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被第二题坑了,使用暴力几分钟就过了

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零、背景

这次比赛的题有点意思。

而且比赛的时候,我又犯了一个犯了无数次的错误。

比赛的时候,目标是快速通过题,不是寻找最优解。
第二题就被坑了,5 * 10^4的数据范围,ACM 使用 n^2 的复杂度肯定超时,leetcode 赛制不会超时。
我想到一个 n log(n)的方法,写了半个小时。
后来花了几分钟写了n^2的暴力代码,一下就过了。

看榜单不少人被这道题坑了,直接使用暴力方法,这次比赛能进前 50 名。

下面来看看四道题吧。

一、数组异或操作

题意:给 n 个数字,每个数字的值是 start + 2*i
求所有数字的异或值。
数据范围:1000

思路:

由于数据范围比较小,第一个方法是直接暴力即可。
复杂度:O(n)

第二个方式是数位DB,即 DFA 算法。

不过在使用这个算法之前,需要先对数据稍微进行转换。

定义下面三个公式

1、f(i, a) = a + 2 * i
2、F(i, b) = b + i
3、ans(n, a) = ans(n-1) ^ f(n, a) 4、Ans(n, b) = Ans(n-1) ^ F(n, b)

对于 ans(i)的二进制个位,答案是固定的。
如果 start 的二进制个位是 1 且 n 有奇数个时,答案的个位才能是 1。

此时答案转化为ans(n, a)= Ans(n, a/2) << 1 | (start & 1 & n)

这样,一个间隔连续区间数字的异或,就转化为了连续区间数字的异或。

而对于区间问题,可以转化为前缀问题,即定义下面函数。

P(n) = P(n-1) ^ n
Ans(n, b) = P(n+b) ^ P(b-1)

而对于一个连续数字的取模问题,答案是固定的,所以我们可以通过 DFA 来计算。

假设 n 的可以表示为2^k + j
P(n)可以分为下面三部分的异或。

1、非高位数字 P(2^k)
2、高位数字的地位 P(j)
3、高位数字的最高位 j-1 个 2^k,判断奇偶性

P(n) = P(2^k) ^ P(j) ^ ((j&1)<<k)

对于P(2^k)的答案固定为2^kk=1除外。 P(2^k)(j&1)<<k结合,可以确定j的奇偶性决定了高位是否有1

因此我们能在log(n)的复杂度内计算出答案来。

第三个方法是在方法二的基础上进一步研究,即找规律。
复杂度:O(1)

对于 P(n) = P(2^k) ^ P(j) ^ ((j&1)<<k) 我们全部展开,会发现答案由最后两位决定。

后两位分四种情况。

1、n%4=00, P(n) = n
2、n%4=01,P(n) = 1
3、n%4=10,P(n) = n+1
4、n%4=11, P(n) = 0

上面的四种情况使用归纳法即可证明。

二、保证文件名唯一

题意:有 n 个文件名,现在要创建对应的文件。
如果创建文件的时候文件已存在,则需要加上(k)后缀名,其中k是最小的正整数。
输出:实际创建的文件名列表。

思路:

方法一:按照题意暴力模拟即可,复杂度O(n^2)

方法二、预处理。
复杂度:O(n log(n))

可以发现,我们暴力的逻辑是来查找最小的正数的。
那如果预处理好数据,建好索引,就可以O(log(n)) 找到最小正数。

假设我们已经有每个前缀对应的整数了,即如下的索引。

preName => 0
preName => 1
preName => 2
preName => 5
preName => 7

现在再次写入 preName 的时候,我们的目标是快速计算出最小的正整数 3

假设我们有一个带计数的 map, 我们就可以通过二分查找来快速计算出最小未出现的整数了。

例如我们把索引转化为这样的数据

preName => 0
preName => 1,1
preName => 2,2
preName => 5,3
preName => 7,4

首先搜素区间是[1, 5),计算出中间值3
在计数上二分查找,可以快速找到 5,3 这个数据。
判断发现索引 5 是第三个,说明 5 前面只有两个数据,最优答案在前面。

此时搜素区间是[1,3) 计算出中间值 2,此时发现最优答案在 2 后面。
所以搜素区间变成[3,3),找到答案。

关于计数上的二分查找,可以使用线段树来实现。
这样这道题就使用 n log(n)完美解决了。

三、避免洪水泛滥

题意:有很多湖泊,第 i 天可能会下雨把第 rains[i] 个湖泊装满水。
如果第 i 天没下雨,即使旱天,我们可以随机选一个湖泊把水倒掉。

要求:如果一个湖泊下雨的时候已经装满水了,则会发生洪水。
问我们是否有策略防止发生洪水,如果可以,输出其中一个答案。

思路:二分查找题。
复杂度:O(n log(n))

如果某一天没下雨,使用一个数据结构记录下这个天数。
如果某一天下雨了,湖泊没水,装满水即可。
如果某一天下雨的时候,湖泊是满的,我们就需要在之前找一个旱天,能否把这个湖泊的水倒掉。

注意事项:找的旱天必须是在这个湖泊下雨之后的,下雨之前的不行。

所以这里需要找到大于上次下雨之后的第一个旱天,使用lower_bound即可。

四、最小生成树的关键边和伪关键边

思路:给一个无向图,求最小生成树的关键边和伪关键边。
关键边定义:去掉树上的这个边,图中就不能得到之前的最小生成树。
伪关键边:去掉树上的这个边,图中还可以构造出最小生成树。

思路:次小生成树算法。

步骤:

1、随便构造一个最小生成树。
2、剩余的边一次尝试加入最小生成树。
3、加上当前加入的是边 v,形成的环上看是否存在与当前边相等权重的边。
4、如果存在,则当前边是伪边,那些相等的边也都是伪边。
5、树上未被证伪的边则是关键边。

可以发现,对于关键边没发一个一个计算,只能找到一个集合,然后来证伪。


PS1:四五年没写最小生成树了。
我使用并查集来找到书,然后使用 dfs 转化为有根树。
如果使用 prime 算法的话,直接就是有根树了吧。

五、最后

这次比赛的题整个看来还不错,如果第二题没浪费半个小时的话,四道题应该都可以过。
但是没有如果,最终只过了三道题。

遇到树的题,我也就会最小生成树了,再难我也不会了。

思考题:对于这四道题还有其他解法吗?

《完》

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