二分题瞬间变成简单DP题
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思维很重要，但是就是没想到这么简单的方法。
本文首发于公众号：天空的代码世界，微信号：tiankonguse
一、背景
在《2021 TPC 腾讯程序设计竞赛（1）》比赛中，第四题蚂蚁报团取暖大家都是使用二分来做的。
后来，有人分享了一个动态规划的想法，一听，发现这道题瞬间变得好简单。
下面就把这个想法分享给大家吧。
二、报团取暖
题意：在横坐标轴上给 n 个蚂蚁的坐标。 为了报团取暖，蚂蚁每秒可以左右移动一个单位。 问最少过多少秒，每个蚂蚁方圆 d 单位内至少有一个蚂蚁。
分析：既然是报团取暖，那有人提出，两两抱团或者两三报团是最优的。。
所以这道题就类似于走楼梯的题，走两阶或者走三阶，找最优值。
状态转移方程：
dp(i) = min(dp2(i), dp3(i))
dp2(i) = max(dp(i-2), cal(i, 2));
dp3(i) = max(dp(i-3), cal(i, 3));
cal(i, k) 最近 k 个人报团取暖的最优值
可以发现，当前状态dp(i)的最优值是最后两个人报团取暖或最后三个人报团取暖的最小值。
而最近两个人报团取暖后，这两个人时间就固定了，所以总的时间就是谁的耗时长取谁。
代码：
int str[max5];
double dp[max5]; // 最近两个报团的最优解 VS 最近三个报团的最优解
int d;
double solve2(int x, int y) { return max(y - x - d, 0) / 2.0; }
double solve3(int x, int y, int z) {
return (max(y - x - d, 0) + max(z - y - d, 0)) / 2.0;
}
double dfs2(int i) { return max(dp[i - 2], solve2(str[i - 1], str[i])); }
double dfs3(int i) {
return max(dp[i - 3], solve3(str[i - 2], str[i - 1], str[i]));
}
int main() {
int t;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
int n;
scanf("%d%d", &n, &d);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &str[i]);
}
sort(str + 1, str + n + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = inf; // 一个无解，设置为最大值
dp[2] = dfs2(i);
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = min(dfs2(i), dfs3(i));
}
printf("%.6f\n", dp[n]);
}
return 0;
}
三、最后
仔细想想这道题，还是思维转的不够快。
报团取暖，至少两个人就行了。
这意味着更多的报团可以拆分为若干个两两或者两三报团。
进而得出结论两两或者两三报团最优的。
只可惜我是想不到这个，以后还是要多练习吧。
加油，算法人。
《完》
-EOF-
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