Leetcode 第9场双周赛回顾

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排序、统计、搜索、动态规划,必不可少的比赛题。

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零、背景

周六晚上,QQ 算法群里有人反馈看不到题,也有人问搜索超时怎么优化。
我忘记双周赛了,所以没参加。

周日晚上找了个时间做了做,发现排序、统计、搜索、动态规划这些题型几乎在每场 leetcode 比赛上都会遇到。
而除了动态规划,前三个题型其实都很容易学会,这里我就简单的介绍一下吧。

一、最多可以买到的苹果数量

题意:给一堆苹果,每个苹果有一个重量。
现在给一个能够承重 5000 的背包,问最多可以放入多少个苹果。

思路:起初一看,很容易往 0/1 背包动态规划方向思考。
但是我一想,不对,这是第一道题,难度是 Easy,不可能是动态规划。

仔细一看题,要求是苹果的个数最多。
当然是有限选择重量最小的苹果了。

总结:先排序,然后从前到后一个个放,不能放了就结束。
题型:排序
复杂度:n log(n) + n

二、进击的骑士

题意:给一个无限棋盘和一个名字叫做的棋子,问到达目标坐标的最小跳数。
细节:在象棋中,马是按日字型走的,即一个坐标移动一下,垂直的坐标移动两下。
这种移动方法有 8 种。

思路:对于最优答案,就需要使用广度优先搜索(BFS)了。
需要注意的时,需要记忆化搜索,即搜索过的坐标不能再搜索了。

那怎么标记坐标是否搜索过呢?
第一种是定义二维数组,值是状态,如默认是 false 代表没搜索,搜过后标记为 true。
第二种是使用 map 数据结构,key 是二元组,value 是对应的状态。
第三种还是 map ,这里 key 是按照一定规则计算出来的整数,value 是对应的状态。

这里我选择了第三种,毕竟 go 语言还不是很熟悉,map的 key 是否支持二元组还不知道,定义二维数组内存不好控制容易爆栈。

总结:BFS 记忆化搜索。
题型:搜索
复杂度:n^2

三、找出所有行中最小公共元素

题意:给一个矩阵,每一行已经递增。求所有行里面的最小公共元素。

思路:标准的做法应该是记录第一行的元素组成一个集合,然后在后面所有行来判断是否存在。
不存在则从集合中删除,最后剩下的就都是公共元素,最小的就是第一个。

但是使用 GO 语言来判断是否存在和删除操作挺不爽的。
我就直接先统计,然后看第一行元素的统计个数是否等于行数。
潜在问题:如果一行有重复元素,这个方法有问题。实际上不存在重复的。

总结:集合操作或者集合统计。
题型:数组统计
复杂度:n^2

四、建造街区的最短时间

题意:有一堆建筑要建造,这里给出了每个建筑的建造耗时。
最开始,只有一个工人。每个工人都可以使用克隆技术分裂为两个人,但是克隆有个耗时,耗时区间内这个人工什么都不能做。
另外,每个工人一旦开始建造建筑,就不能进行克隆了,而且一个人工只能建造一个建筑。
问建完所有建筑的最小耗时。

思路:首先肯定可以把所有建筑建造完的。

比如分两阶段。
第一阶段只克隆人,知道工人数量和建筑数量一样。
第二阶段开始干活,每人建一个建筑。

但是,我们分析之后,发现有些场景下分工合作。
即部分工人用于克隆分身,部分工人提早干活(比如耗时较旧的建筑提早开始建造),这样组合下去时间就会更短了。

至于哪种分工耗时最短我们不知道,所以我们需要遍历所有的情况,然后找出最优值。

当然,分工干活的原因是不同建筑的建造耗时不同。
如果需要分工,那自然是优先建造耗时最久的建筑。
所以这里需要对建筑的耗时进行排序,使得可以快速找到建造耗时最长的建筑。


前面说的可能有点抽象,这里来具体分析问题。
假设我们有 n个建筑,m个工人。 可以选择的决策有:

0 个人干活,m 个人生孩子,剩余建筑 n 个。  
1 个人干活,m-1 个人生孩子,剩余建筑 n -1 个。  
...
m-1 个人干活, 1 个人生孩子, 剩余建筑 n - m + 1 个。  

使用公式来表示,即 i 个人干活, 则可以表示为:

f(n, m) = min( F(n, m, i) )
0 <= i < m

i个人干活时,他们的耗时是固定的,即木桶短板理论,干活最慢的耗时就是总耗时。
所以F(n , m, i)的公式如下

F(n, m, i) = max(Data[n] , f(n - i,  2 * (m - i)))

此时,可以发现,我们的推理公式已经形成了闭环。
但是复杂度是O(n^3)的,所以这种方法会超时的。

复杂度推理:n是一个维度,m是一个维度,i是一个维度。三个维度合起来就是n^3了。

前两个维度在这种思维模式下,已经没有优化空间了。
但是第三个维度,倒是可以进一步分析。

对于i的循环,我们可以展开来看,或发现有不少重复计算。
展开如下

i=0, f(n, 2 * m)  
i=1, f(n - 1, 2 * (m - 1))
i=2, f(n - 2, 2 * (m - 2))
...
i=m-1, f(n - (m - 1), 2)

我们目标是找到所有i里面的最小值。
这个其实可以转化为另外一个递归公式:

M(n, m) =  min(f(n, 2m), M(n - 1, m - 1))

此时,我们可以将M(n, m)的计算结果也保存下来。
这样就可以在O(1)时间内找到最优值。

总结:典型的动态规划题,不过需要拆分为两个动态规划公式。
第一个是矩阵的问题拆分,一个是最优值的问题拆分。
这两步都想到了,这道题就可以做出来了。
题型:动态规划
复杂度:O(n^2)

五、最后

这次比赛的题挺好的,排序、统计、搜索都比较基础,而动态规划则比较经典。
建议大家都做一下。

-EOF-

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