递归就是这么简单(结论篇)

一、背景

之前写过《递归就是这么简单(原理篇)》，看了原理，发现递归很简单。
但是实际做题做项目的时候，会发现递归很难实现。
这里其实不是递归难，而是我们没有想清楚自己要做什么。
这篇文章简单的总结一下该如何做。

二、递归关系与记忆化

我们知道，递归是一个可以优雅而有效解决很多问题的强大技术。
但是递归不是银弹silver bullet。
由于时间或空间的限制，并不是所有的问题都可以使用递归解决。
比如有时候递归可能不可预期的问题，如爆栈、死循环等。

When in doubt, write down the recurrence relationship.  

有时候，初次看到一个问题的时候，我们并不是马上能想出来怎么用递归解决这个问题。
然而，我们通过梳理问题之间的关系，并用数学式子表达出来后，就会发现可以用递归解决。
这是因为递归的性质和数学式子是很类似的。
通过数学式子，我们可以清晰的看清楚递归关系，并发现问题之间的几何意义。

Whenever possible, apply memoization.  

对于某些递归关系，我们很快的实现了对应的代码。
但是有时候，会发现存在重复计算问题，比如斐波纳契数。
此时我们就可以使用记忆化技术，将计算过的结果缓存起来，下次需要的时候直接返回结果。
就这样，我们通过空间换时间的方法，避免重复计算，从而可以大大的降低时间复杂度。

三、合并两个有序链表

题意：给两个有序链表，求合并后的链表。

思路：使用循环的方法也可以做，这里我们使用递归的方法来实现。

递归函数的定义就是题意，即传入两个有序链表，返回合并后的链表头。
当某一个链表为空时，显然可以直接返回另一个链表。
而两个链表都不为空时，链表头肯定是两个链表里面值最小的那个。

所以这里递归就可以找到最小的链表头结点，剩下的递归合并。
最后链表串起来，返回链表头即可。

四、构造二叉搜索树

题意：给1~n数字，求构造所有合法的二叉搜索树。

思路：咋一看这道题，可能会没有思路。
但是看一下所有的二叉搜索树的根，会发现分别是1~n，如果我们依次求出所有根的二叉搜索树，合并起来就是所有的二叉搜索树了。

而二叉搜索树有一个性质：左子树的值都小于根，右子树的值都大于根。
这个对应到构造数字上，就是一颗二叉搜索树，其数字区间是连续的。

假设我们要构造[start, end]这个区间的二叉搜索树，依次枚举根为i，则左子树区间是[start, i-1]，右子树区间是[i+1, end]。
而一个区间构造的子树有多个，左子树和右子树相交，即可得到所有根为i的二叉搜索树了。

五、爬楼梯

题意：楼梯有n层，你需要从第1层往第n层爬到楼顶。
每次你可以爬一层或者两层，问有多少种不同的方法爬到楼顶。

思路：可以很容易写出一个数学公式来。
大概是f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
而对于n<=1时，f(n)=1。

简单的实现递归代码后，发现n比较大的时候，数据要很久才能跑出来。

这是因为我们重复计算了很多冗余的数据。
如下图

f(10) = f(9) + f(8)  
f(9) = f(8) + f(7)  
f(8) = f(7) + f(6)  

我们计算f(10)的时候需要计算f(9)和f(8)。
而计算f(9)的时候，又需要计算f(8)和f(7)。
计算f(8)的时候，需要计算f(7)和f(6)。

也就是计算f(10)的时候，我们计算了两次f(8)和三次f(7)。
而且这个递归的层数越深，重复计算的次数越多。
这就导致时间复杂度变成指数级别的了。

而我们将计算过的结果保存下来后，每个数字只需要计算一次，复杂度将是O(n)的了。

六、最后

其实，递归和动态规划是一个东西。
不过两个东西不是一个概念。

递归是一种具体的技术，通过并调用自己，最终计算出结果来。
而动态规划是一种算法思想，通过将问题转化子问题，并用数学公式表达出来。
一般这个数学公式会依赖于自身，所以此时通过递归来解决，就是所谓的push down，而通过循环递推的解决，则是所谓的push up。

这里的关键是理解一个问题的转化关系，也就是使用数学公式表达这个问题，剩下的就是代码实现了。
突然发现这个和做项目一样，问题的转化关系，就是项目的架构设计，而架构设计好了，剩下的也是代码实现了。

突然发现，上一篇文章最后提的问题在这里已经得到了解释。
当时提的问题是：

对于递归，已经写过程序的人都会感觉这个很简单。
但是如果看过语法解析或者协议解析的代码，比如json库、protobuf库，就会发现这些库也就是一些递归函数的互相调用。

那为什么说起递归会感觉简单，实现一个json库或者程序语言的语法分析很多人认为很难呢？

你看出这个问题的答案了吗？

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