codeforces 2020年12月月赛算法比赛

作者: | 更新日期:

这次终于把所有题做完了。

本文首发于公众号:天空的代码世界,微信号:tiankonguse

零、背景

这周日在 codeforces 上参加了某高校 12 月份的校赛,涉及到不少算法,分享给大家。

比赛源代码:https://github.com/tiankonguse/ACM/tree/master/codeforces/gym/306556

A. 暴打出题人

题意:给一个数组 n 个数字,挑选若干个数字的和可以组成一个数字。
问区间目标 [1,M] 的数字是否都可以通过挑选一些数字求和得到。

如果不能,可以加入任意一个数字,如果还不能,可以再加入任意一个数字。
问最少加入多少个数字才能满足目标。

思路:首次看到这道题,会完全没思路。

不过从小到大开始分析的时候,就会发现这道题很简单。

如果数组中没有数字 1 ,那么肯定需要添加一个数字 1。因为其他任何数字都不可能求和得到 1。
如果数组中有 1 且有 k 个 1 ,那么我们通过这 k 个 1,可以分别得到数字 [1,k]

如果此时数组中再有一个数字 2,通过数字 1 和 2,我们还可以组合得到 k+1k+2 这两个数字和,最终可以得到 [1, k+2]
这个操作抽象一下就是,如果前 i 个数字可以组成区间 [1, a],第 i+1 个数字是 b 且 b <= a+1, 那么考虑第 i+1 个数字后,就可以组成区间 [1, a+b] 了。

如果我们可以组成区间 [1,a] ,但是不存在小于等于 a+1 的数字了,那么我们无论如何也不能组成 a+1 这个数字。
所以需要加入 a+1 这个数字。
加入之后,就可以按照上面的策略,得到新的区间 [1, 2*a+1] 了。

复杂度:假设数组一个数字都没有,区间每次都是倍增的,所以复杂度是O(log(n))

题意:给一个多叉有向树,从根节点遍历,每次只能遍历权重最大的 k 类儿子,求遍历的权重和。
类儿子定义:权重相等的儿子算一类儿子。

思路:每个节点的儿子排个序,按照定义 dfs 或 bfs 递归 k 类儿子即可。

C. 不会吧不会吧,不会真有人只会用 __gcd() 吧

题意:给一个 gcd 算法,问 cnt 的值是多少。

typedef long long ll;
ll cnt;
ll gcd(ll x, ll y) {
    if (y == 0) return x;
    if (x < y) return gcd(y, x);
    ++cnt;
    return gcd(x - y, y);
}
void func(ll x, ll y) {
    cnt = 0;
    ll d = gcd(x, y);
    printf("gcd(%lld, %lld) = %lld, cnt = %lld", x, y, d, cnt);
    puts("");
}

思路:分析 gcd 算法,可以发现当 x 大于 y 的时候, x 会不断的减 y。
所以当 x 大于 y 的时候,减的次数就是 x/y 次。
接着需要递归的计算 gcd(y, x%y) 的次数。

复杂度:gcd 的复杂度可以通过最坏情况来估算。
假设每次 x/y 都是 1,那么 x1=y0, x1=x0-y0
公式展开可以发现是斐波那契数列,即复杂度近似于 O(log(n))

D. 数座位

题意:输入 n 个素数,求大于 x 且 小于 y 的能够整除其中一个素数的整数个数。

思路:裸的容斥原理题。

模板地址:https://github.com/tiankonguse/ACM/blob/master/tmpleate-2020/code/rongchi.cc

E. 散樱乱武

题意:输入一个无向图,有多个可选的入口和可选的出口,问最短路。

思路:加一个超级入口与超级出口,然后正常的求最短路即可。

F. 斐波那契数列之前缀和套娃

题意:斐波那契数列定义为 F(n)=F(n-1)+F(n-2)
一级前缀和定义为S(n) = S(n-1) + F(n)
二级前缀和定义为SS(n) = SS(n-1) + S(n)
输入一个整数,求二级前缀和。

思路:输入的数字非常大,很容易需要使用矩阵幂来优化这道题。

写出前10个数字的关系,就可以看出状态矩阵的关系。

0 1 1 2  3  5  8 13
0 1 2 4  7 12 20 33
0 1 3 7 14 26 36 69 

最基本的状态就是题意的状态,即A(n)=A(n-1)+B(n)
几何意义是当前上一个位置代表前缀和,加上当前位置的值,就是当前位置的前缀和。

我按照原始题意构造了6*6的状态矩阵,结果超时了。

0 1 0 0 0 0 含义: F(n-1)
1 1 0 0 0 0 含义: F(n) = F(n-1)+F(n-2)
0 0 0 1 0 0 含义: S(n-1)
1 1 0 1 0 0 含义: S(n) = S(n-1) + F(n)
0 0 0 0 0 1 含义: SS(n-1)
1 1 0 1 0 1 含义: SS(n) = SS(n-1) + S(n)

学弟思路灵活一些,优化为4*4的状态矩阵,通过了。
大概思路是消除了 S 的前缀和。

学长思路更灵活,直接构造了2*2的状态矩阵,也通过了。
大概思路是使用消除 S 前缀和的方法,把 SS 的前缀和也消除了,直接得到一个 F 相关的公式。

我再一看题,数字取模 100。
这么小的数字,完全很快就出现周期了。
所以我打表后,输入 100 发现不是周期,随手又输入 900, 发现 900 就是周期,便水过去了。

G. 不讲武德

题意:n 个数字编号 1 到 n,每个数字 i 的值是 i * C(n, i)
求所有数字值得和。

思路:将所有的组合数写下来,用矩阵标示,可以发现可以上下组合起来,组成一个完整的组合数。

C(n,1) C(n,2) C(n,3) ... C(n,n)
       C(n,2) C(n,3) ... C(n,n)
              C(n,3) ... C(n,n)
                     ... C(n,n)
                         C(n,n)

由于C(n,i)等价与C(n,n-i),可以上下组合为C(n,0) + C(n,1) C(n,2) C(n,3) ... C(n,n)
完整的组合和固定为2^n,大概有n/2个。
如果 n 为奇数的话,中间的恰好只有一半,即和为2^(n-1)
两个合并,就是(n+1)*2^(n-1)

H. 耗子尾汁

题意:给一个棋盘,以及马的 k 中走法,问最少多少步可以到达指定坐标。

思路:bfs 即可,走过的标记一下不要走了。

I. 狼抓兔子

题意:统计输入文件的字符核数。

思路:循环加一即可。

J. 区间染色

题意:给 n 个数字,每个数字有一个颜色。
每次最长可以将连续 k 个数字染成相同的颜色。
问最少通过多少次染色可以将 n 个数字染成相同的颜色。

思路:颜色只有 100 个,枚举颜色即可。

思考题:颜色非常大,不能枚举,该如何做呢?

最后

这次比赛的题后来放水了,不放水的话,我就不能 AK 了。
比如 F 题无限前缀套娃,我 6*6 的状态矩阵竟然被卡超时,这个很变态。
最后一题,如果不能枚举,那就没有思路了。

加油,算法人。

《完》

-EOF-

本文公众号:天空的代码世界
个人微信号:tiankonguse
QQ算法群:165531769(不止算法)
知识星球:不止算法

本文首发于公众号:天空的代码世界,微信号:tiankonguse
如果你想留言,可以在微信里面关注公众号进行留言。

点击查看评论

关注公众号,接收最新消息

关注小密圈,学习各种算法

tiankonguse +
穿越