2021 TPC 腾讯程序设计竞赛(1)

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都有想法,但是还差一点点。

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零、背景

2021 年 TPC 腾讯程序设计竞赛 又开始了。

4 月 13 号,周二晚上,参加了 2021 年 TPC 腾讯程序设计竞赛第一季第一场比赛。

PS:下午有会议,开会到 18:30,而比赛是 19:00 开始。
最终吃完饭回到座位时,已经 18:55 了。

我找一个空的电话亭后,Mac 电脑却卡死了。
第一次重启,会自动打开之前的程序,又卡死了。
第二次重启,禁止自动打开之前的程序,电脑才回复正常。

结果开始比赛的时候,外连的鼠标和键盘无响应了。
最后只好使用Mac 自带的键盘与触摸板来操作电脑了。

出师不利呀。

一、美丽序列

题意:给一个序列,当相邻两个数字的乘积不大于0时,称为美丽数列。
问是否可以重排列数列,得到一个美丽数列。

思路:相邻乘积不大于0,自然需要符号互斥。
而 0 属于万能数字,可以去适配任意符号。

所以思路就是优先使用正负符号匹配,剩下的使用 0 去匹配。
如果能够匹配上,就是美丽梳理。

正负符号匹配的规则也很容易想到,谁多谁在第一个。

if (abs(one - two) <= zero + 1) {
  printf("Yes\n");
} else {
  printf("No\n");
}

二、巧克力棒

题意:给 n 个正数字,问是否可以将一个数字 k 拆分为其他两个数字 a 和 b,使得a+b=k
并且得到的所有数字不重复。

思路:首先,需要理解题意。
题意要求是所有数字不重复。

此时需要分情况讨论。

1)某个数字出现大于等于3次,此时不管怎么拆分,都会有重复,即无答案。
2)多个数字出现两次,拆分一个数字后,肯定还是会有重复,无答案。
3)只有一个数字出现两次时,此时必须拆分出现两次的这个数字。然后判断是否可以拆分。
4)没有数字重复,则枚举所有数字,判断是否可以拆分。

由于正整数的数据范围只有 1000,直接暴力枚举来检查是否可以拆分即可。
默认复杂度:O(n^3)
map优化:O(n^2 log(n))
hash优化:O(n^2)

注意事项:拆分的两个数字也不能相当。

bool check(int val) {
  for (int i = 1; i < val; i++) {
    if (m.count(i) == 0 && m.count(val - i) == 0 && i != val - i) {
      return true;
    }
  }
  return false;
}

三、完全平方数

题意:给两个数 n 和 k,问是否可以构造出长度为 n 的序列,使得序列中存在 k 个二元组,且二元组之和是完全平方数。
完全平方数定义:其平方根也是整数。
二元组:无序,即 n 个整数可以有C(n,2)个二元组。

思路:显然可以判断,当 k 大于 C(n,2)的时候,没有答案。

那问题是,k 不大于的时候,是否肯定可以构造出答案。

这时候只能枚举较小的 n 和 k,看答案都是怎么构造出来的。

-)k = 0,n 至少是 1,所有数字使用 1 即可。
-)k = 1,n 至少是 2,使用 2 * 2,剩下的数字使用 1 即可。
-)k = 2,n 至少是 3,使用 2 + 7 + 9 即可。
-)k = 3,n 至少是 3,使用 3 * 2 即可。
-)k = 4,n 至少是 4,使用 2 * 2 + 7 + 9 即可。
-)k = 5,n 至少是 4,使用 2 * 2 + 2 * 7 即可。
-)k = 6,n 至少是 4,使用 2 * 4 即可。
-)k = 7,n 至少是 5,使用 3 * 2 + 7 + 9即可。
-)k = 8,n 至少是 5,无解?

我手动模拟到 k = 8 的时候,发现构造不出答案来了。

我的推导原理如下图,关键靠 2 这个数字自身快速增加完全平方数。

赛后,有人说需要找到两个像 2 这样的数字才行,比如 2 7 98

我听到这句话瞬间知道怎么做了。
比赛的时候有想过这个,当时我画出很多种组合,尝试列出所有方程,一个个去验证那个是答案。

这个想法没问题,就是我没这个耐心,因为后面还有两道题,下一道题过的人更多。

四、蚂蚁

题意:在横坐标轴上给 n 个蚂蚁的坐标。
为了报团取暖,蚂蚁每秒左右移动一个单位。
问最少过多少秒,每个蚂蚁方圆 d 单位内至少有一个蚂蚁。

思路:比赛的时候,有两个地方理解错了。

第一,我以为最终所有蚂蚁可以构成一个连续区间,即从左右到右,相邻蚂蚁的距离不大于 d。
赛后又读了下题,发现蚂蚁两两结合也是可以的,即最终蚂蚁分成了若干个连续区间,每个区间内蚂蚁报团取暖。

第二,我以为移动过程中,一旦距离在 d 范围内了,就不能再分开了。
赛后发现,这里只是要最终结果,不关心中间过程。

这两点确定了,就很容易想到二分做这道题,即判断指定时间能够满足答案。

那给了一个最大时间,怎么判断是否满足答案呢?

对于每个蚂蚁,枚举这个蚂蚁是左边界或不是左边界时可以向右到达的最远距离。

如果是左边界,最远距离就是 x + mid
如果不是左边界,则判断这只蚂蚁能否和上一个蚂蚁报团取暖,可以了求出最远距离 min(pre + d, x + mid)

枚举过程中,一旦遇到无法报团取暖,就代表当前时间太小,继续二分即可。

当然,和同事讨论这道题,说可以把上面的过程转化为动态规划。

我隐隐约约感觉确实可以,但是思维不够强大,心中还没想清楚。
周末后,纸上再画画,看能不能使用动态规划做。

五、棋盘上的数字

题意:给一个棋盘,有一些位置上有障碍物,其他位置都是数字 1。
现在对整个棋盘进行上下左右移动操作。

当向一个方向移动时,所有非障碍物位置都需要朝对应的方向移动一下。
数字移动出去后,如果没有数字移动过来,则对应的位置为数字 0.
如果数字前面是障碍物无法移动,则不进行移动。
如果某些数字移动到下个位置,下个位置不能继续移动,则那个位置的两个数字合并求和。

每次移动后,求所有合并数字的和。

思路:首先需要理解这道题,多读几遍边可以理解,发现就是也够大的模拟题。

每次移动复杂度:O(n^2)
有 q 次移动,总复杂度 O(n^2 * q)
暴力模拟会超时。

看下数据范围,会发现障碍物是突破口,因为障碍物只有 n 个。

所以可以反向来做,每次移动的时候,相当于障碍物逆向移动。
对于四周,可以加一圈障碍物。

这样每次移动的时候,只需要计算障碍物周边的数字,复杂度O(n)
综合复杂度O(n*q)

六、最后

这次比赛的题很好。

第一题构造题、第二题构造题,第三题构造题,第四题二分或者动态规划,第五题模拟题。

这么简单的题,我却只做出两道题。
下次比赛争取能做出三道题吧。

加油,算法人。

《完》

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