leetcode 第 307 场算法比赛

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请假回家了,比赛成绩不怎么样

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零、背景

这次比赛最后一题有点难度,但是其实也不难,给大家分享两种方法。

一、赢得比赛需要的最少训练时长

题意:有 n 场比赛,每次比赛需要消耗指定的精力,之后会增加若干经验。
参加一次比赛的前提是当前剩余的精力和经验都大于比赛要求的值。
起始的精力和经验可能无法完成所有比赛,每花费一小时就可以给起始精力或者经验加一点。
问至少需要花费多少小时,得到的起始精力和经验才能完成比赛。

思路:精力是递减的,所有可以循环计算出至少需要多少精力。
经验值是递增的,计算的方法比较多。

方法一:枚举起始经验值,判断是否可以完成比赛。

方法二:二分起始经验值。

方法三:倒退依赖的经验值。

注:由于数据量不大,枚举最简单。

二、最大回文数字

题意:给一个数字字符串,选择一些数字,求可以组成的最大回文串数字。

思路:回文串分两类。
一类长度是偶数,左右完全一样对称。
一类长度是奇数,除了中间的,左右完全一样对称。

面对这道题,可以预先统计所有数字的个数。
从大到小得到完全对称的值,并标记最大的出现奇数次的数字。

如果没出现奇数次的数字,答案就是长度为偶数的回文串。
如果出现奇数次的数字,答案就是长度为奇数的回文串。

注意实现:如果出现前缀 0,完成对称的数字都是0,此时需要特殊处理。

三、感染二叉树需要的总时间

题意:给一个有根二叉树,现在随便选择一个节点为根,求输的高度。

思路:一个 DFS 搞定。

递归的时候,如果子树没有选择的节点,则新的数里子树结构不变,返回当前树的高度。

如果子树里有选择的节点,分三种情况。

情况一:子树的根是选择的节点,返回高度 1,代表父节点到新的根的距离。

情况二:选择的节点存在左子树里,则左子树会返回当前节点到达新根的距离。
右子树的高度是右子树的最大高度加上当前子树根到达新根的距离,更新答案。
最后,返回当前节点父节点到达新子树的距离,即左子树返回值加1。

情况三:选择的节点存在右子树,逻辑情况二完全一样。

四、找出数组的第 K 大和

题意:给一个数组,求所有子序列中,第 k 大的子序列的和。

方法一:一开始可能会没思路,但是一看数据范围,k 最多是 2000, 那就有思路了。

可以先考虑只有正整数,子序列和最小的 k 个答案。
求出最小的 k 个答案后,根据总和,就可以计算出最大的 k 个和。

至于如何求最小的k个答案,也不难。
对序列排序,然后通过一个优先队列就可以计算得到。

一开始可能想不到如何维护这个优先队列。
所以可以使用最暴力的方案。
定义状态:<sum, offset>代表以 offset-1 偏移量结尾的和为 sum 的子序列。

对于这个状态,我们可以得到 K 个状态,都入队,即:

sum1 = sum + A[offset], offset+1
sum2 = sum + A[offset+1], offset+2
...

看到这里,你可能会说,这个复杂度会很大。
是的,所以可以加一个优化:得到的 sum 个数等于 K 个后,之后只有更优的时候才能入队。

这样复杂度就降为 k log(k) 了。

证明如下:

第一次状态转移: A[offset], A[offset+1],...,A[offset+k-1]
第二次转移:A[offset]+A[offset+1],A[offset]+A[offset+2],...,A[offset]+A[offset+k/2]
第三次转移:...,sum+A[offset+k/3]

第一次入队列的是 k 个数字。
第二次最多入队 k/2 个数字。
第三次最多入队 k/3 个数字。
由此递推,入队列的数字个数是k+k/2+k/3+...
对于这个公式,约等于k log(k)

求出了正整数的最大 k 个和,我们需要考虑如何处理负数。

负数如果特别小,有可能可以得到的和也排名前 K。
那最多多少个负数子序列可能在最终的答案中进入 前 K 呢?
显然,顶多 k-1 个负数子序列影响最终答案。

所以,这里可以使用上面类似的算法,求出所有负数子序列中最大的 k 个子序列和。

最后,非负数的 k 个最大的子序列和 与 负数的 k 个子序列和交叉组合,就可以得到任意整数的 k 个最大子序列和。

最后交叉处理时,看起来是 k^2 的复杂度,其实剪枝后,类似于堆优化,每次挑选最大的,复杂度还是 k log(k)

方法二:方法一的思路是把正数与负数拆分开,其实没这个必要。

仔细看方法一里面求非负数最大 k 子序列的方法:先求最小的 k 个子序列,然后那和相减求出最大的 k 个子序列。

既然是相减的,那对于负数,相加等价与相减,所以负数可以处理为非负数来处理即可。

所以流程可以简化为:

步骤1:求出正整数的和。
步骤2:所有负数修改符号为正数。
步骤3:求出最小的 k 个子序列和。
步骤4:相减,求出最大的 k 个子序列和。

另外,对于队列求最小的 k 个子序列,我使用的暴力方案枚举 k 个子状态。

看榜单,前几名通过把 k 叉树转化为 2 叉树,从而只需要枚举 2 个子状态来降低复杂度。
那种状态虽然看着简单,但是理解起来比较复杂,这里就不介绍了。
感兴趣的可以自己去榜单看前几名的代码。

五、最后

这次比赛题目都比之前的难。

前三题都需要花不少时间,第四题即使有想法,比赛那么短的时间内,可能没想清楚就导致敲不出代码来。

加油,算法人。

《完》

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