leetcode 第 362 场算法比赛,排名33
作者:
| 更新日期:第三题网络流,第四题字符串矩阵幂,不少人应该不会做。
本文首发于公众号:天空的代码世界,微信号:tiankonguse
零、背景
这次比赛后两题比较难,第三题网络流(当然可以暴力通过),第四题字符串的矩阵幂,难度都较大。
leetcode 仓库地址:https://github.com/tiankonguse/leetcode-solutions
比赛代码:contest/3/362
费用流模板:graph/flow/min-cost/dinic-min-cost.cpp
字符串hash模板:doc/string/hash.cpp
矩阵幂模板:doc/matrix.cpp
一、与车相交的点
题意:数轴上有 n 个车的行驶区间,问哪些数字有车经过。
思路:区间合并。
方法1:枚举。
实现:枚举每辆车经过的每个点。
复杂度: O(n*m)
方法2:扫描线。
实现:按左区间从小到大排序,维护一个游标。
游标左边的代表已经计数,右边的尚未计数。
遇到一个区间,游标可以直接跳到右区间,并计算新增的区间大小。
复杂度:O(n)
二、判断能否在给定时间到达单元格
题意:给一个平面坐标系,问从一个点到达另一个点是否可以恰好 k 步到达。
步骤:上下左右8个方向相邻坐标走一步。
思路:先判断 t 步内能不能到达,再判断能不能来回走凑够 k 步。
假设两个点横坐标距离为 X,纵坐标距离为 Y,则最小步数为 max(X,Y)
。
根据到达目标的奇偶性,分两种情况分析
1)剩余偶数步,左右来回走,即可凑够 k 步。
2)剩余奇数步,可以来回走,剩余 3 步是走三角形回到终点即可。
3)剩余1步,最短路到达目标的上一步,先不去目标,走一个三角形到达目标即可。
上面分析一番,发现只要能到达目标,就可以凑够 K 步。
实际上还有一个反例:剩余1步时需要上一步先不来,如果没有上一步呢?
也就是起点与重点相等,且k=1
时,就没有答案了。
三、将石头分散到网格图的最少移动次数
题意:给一个3*3
的网格,网格数字总和是 9,目标是最小操作,使得所有网格数字是 1。
操作:如果一个网格数字大于0,则可以减去一个数字,并选择将一个相邻的网格数字加一。
思路:一开始可能想使用动态规划或者状态压缩,发现没法处理。
然后发现,网格移动,其实就是搜索题或者图论题。
搜索的复杂度不太好算,可能会超时。
图论的话,就是典型的最小费用最大流问题。
构图:
1)网格9个数字,编号 1~9。
2)超级源点 与 数字大于1的网格有一个边,费用为0,流为数值减1(自己需要留一个数字)。
3)数字大于1的网格到数字为0的网格有一个边,费用为曼哈顿距离,流为 1(一个位置值只加1)。
4)数字为0的网格到超级汇点有一个边,费用为0,流为1。
算法:没有负环,跑 dinic 费用流即可。
代码与模板见第一小节。
费用流模板:graph/flow/min-cost/dinic-min-cost.cpp
PS:比赛时我一看需要写费用流,再刷榜单过了好多人,就猜测暴力 DFS搜索不会超时,于是我比赛先使用搜索通过的。
四、字符串转换
题意:给两个长度都为 n 的字符串 s 和 t,每次操作可以将 s 向右循环移动1~n-1
次。
问操作 k 次恰好可以使得 s 与 t 相等的方案数。
数据范围:n=5*10^5
,k=10^15
思路:字符串hash+矩阵幂题型。
先分析原题。
1)字符串任意循环右移,总共有 n 种字符串,即以原始字符串 s 某个下标为起始位置的字符串。
2)每次操作,循环右移有 n-1
个选择,可以得到其他 n-1
个字符串。
复杂度:O(n)
3)假设当前 n 个字符串分别有若干个方案,则一次操作有,下一轮 n 个字符串的方案数也都可以计算出来,具体计算方式可以写为矩阵的形式。
每个字符串的计算公式:其他所有字符串方案之和,也等价与所有字符串之和减去自己的方案数。
复杂度:O(n^2)
4)操作 k 次后,每个字符串的方案数就计算出来了。
复杂度:O(k * n^2)
5)n 个字符串中,与原始字符串相等的方案数求和,就是答案。
复杂度:O(n^2)
问题1:步骤3中,矩阵太大,计算一次复杂度太高。
优化:分析发现,可以发现规律,除了第一个字符串,之后所有字符串的计算公式都相同,值也都相同,即矩阵行都相等。
所以矩阵的大小没必要是n*2
,定义一个2*2
的矩阵即可,第二行就可以代表剩余的行。
优化后复杂度:O(1)
问题2:k 太大,计算 k 次会超时。
优化:相同的矩阵乘k次,可以使用矩阵幂优化。
优化后复杂度:O(log(k))
问题3:n个字符串比较大小,复杂度太高。
优化:可以通过计算字符串的hash值,快速比较是否相等。
优化后复杂度:O(n)
总共复杂度:O(n + log(k))
字符串hash模板:doc/string/hash.cpp
矩阵幂模板:doc/matrix.cpp
五、最后
这次比赛比较难,第三题是费用流可以暴力水过去,第四题是矩阵幂就没办法水过去了,是实实在在的考察硬实力的时候了。
这些题你都是怎么做的呢?
《完》
-EOF-
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