读《从一到无穷大》

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学到不少知识,比如相对论、核物理、生命、热力学熵增、宇宙学。

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零、背景

在之前的文章提过过,本来要读《无穷大的》,结果读了《无穷小》。
不过现在已经都读了。

这本书是 60 年前写的书,不过现在看来依旧不过时。
因为书中介绍的是数学、物理、生物上的科普知识,这些已经是如今认知世界的根基。
现在我们就来看看这本书介绍了哪些基础知识吧。

一、数学游戏

1、最大的数字

以前人们认知的最大数字是有限的。

比如罗马数字,只有 7 个单位,即I(1)、V(5)、X(10)、L(50)、C(100)、D(500)和M(1000)。
想要表示一万,就需要 10 个 M,再大的数字就很长很长可读性很差了。

面对这个难题,阿基米德提出了一个办法:制定更大的单位。
假设目前最大单位是万,那么引入第二阶单位万万,即亿,第三阶引入单位亿亿
这个方法其实和现在的科学计数法很接近了,即 10 的多少次方。

2、无穷个数字

既然数字可以很大很大,那有多少个数字呢?
回答是无穷个数字。
例如整数有无穷个,奇数有无穷个,偶数也有无穷个。

随之我们就会提出另外一个问题:无穷之间有什么关系呢?
比如无穷个奇数与无穷个偶数是不是相等的? 比如无穷个整数是无穷个奇数的 2 倍?

面对这个问题,康托尔使用集合论定义了无穷之间的比较。
定义:给两组无穷大数列中的各个数一一配对。如果最后这两组都一个不剩,这两组无穷大就是相等的;如果有一组还有些数没有配出去,这一组就比另一组大些,或者说强些。

按照这个定义,无穷的偶数和无穷的奇数是相等的。
神奇的是,无穷的偶数与无穷的整数也是相等的。
也就是说,在无穷的世界中,部分可能等于全部。

当然,也存在一个大于另一个的情况。
比如线上的点大于整数的个数。
在此基础上继续分析,还可以得出平面上所有的点数和线段上所有的点数相等的结论。
感兴趣的同学可以自己尝试证明一下。

康托尔对这些无穷集合进行了分析分组,发现目前能想到的所有无穷集合可以分为三类。
第一类是整数、分数类,第二类是线、面、体类、第三类是几何曲线类。

3、数论

数论中最出名的就是哥德巴赫猜想,即所谓的1+1=2问题。
具体来说,就是任何一个偶数都能表示为两个质数之和。

1931 年,苏联数学家证明了每个偶数都能表示为不超过 30W 个质数之和,后来另一个苏联数学家证明了每个偶数能表示为不超过 4 个质数之和。

既然不能证明这个问题,能不能看看整数与质数之间的关系呢?
还真发现一个关系,即前 N 个整数内,有 ln(N) 个质数。

不过之后就没然后了,至今也没证明出这个哥德巴赫猜想。

二、空间与时间

1、时间等价于空间

我们身处三维世界,能够体会到三维空间,也可以看到二维平面和一维线。

那如果宇宙是多维的,比如四维,长什么样子呢?
大家都想象不出来。

有人假设时间是第四维空间,这样我们可以稍微想象出来一些迹象。
比如每个三维物体都随着第四维时间在变化,而固定一个时间点,我们可以看到一个确定的三维物体。

这个看起来确实不错,不过这个第四维与其他三维不同的是,第四维只能超一个方向发展,而且不受其他因素影响。
比如平常的三维,可以任意的左右移动,而时间则不能移动。

另一个区别是,其他三维的单位都是长度,而第四维是时间,单位不统一。
那时间与长度有啥关系呢?
时间乘以速度等于长度。
所以第四维需要一个标准速度,然后就可以转化为长度了。

标准速度作为时空转化的基本因子,肯定不能受人类主观意志和客观物理环境影响。
满足这个要求的就是大家都知道的光速。

17世纪,伽利略曾使用人眼测量过光速,不过由于人类反应导致的延迟比较大,计算的结果与实际差距很大。
1675 年,丹麦天文学家雷默利用木星卫星的蚀时现象,计算出了光速。
再后来,人们使用齿轮高速旋转,短距离上计算出了光速。

2、四维距离

把时间加入三维空间后,每一个点我们称为一个事件,即某个时间某个地点的状态。

接着人们便想,四维之间的距离如何计算呢?
由于时间与空间的巨大差异,距离上也应该体现出这个差异了。
于是家闵可夫斯基认为,时间可以表示为虚数,即时间的平方为负数。

通过一顿距离计算,我们发现在短距离上,两个事件的距离是虚数,即是很小的时间。
而在宏观维度,比如宇宙星系的距离上,事件的距离就是实数了,这时候时间就转化为三位空间了。

接着,迈克尔逊通过日食寻找以太,没找到。
斐兹杰惹提出,也许运动的物体会进行一定的斐兹杰惹收缩,这种收缩就会使计算出来的结果没有偏差,即永远找不到以太。

速度较快时空间会收缩,事件的距离不变,那时间维度就会变大,即时间变慢了。
时间变慢意味着,我们坐着光速飞船出去飞了一天,回来后地球上可能已经过了一年了。

PS:中国的神话故事天上一天地上一年从哪来的?
难道以前真有外星文明,而且古人做过飞船?

3、引力

爱因斯坦提出,质量使得物体周围的空间弯曲,这种现象人类称之为重力或者引力。

一个空间,有两种弯曲。
一种是球形弯曲,即正曲率。
另一种是马鞍面,即负曲率。

通过研究空间的曲率,我们就可以判断宇宙是有限的还是无限的了。
而在宏观世界里,通过观察,发现曲率是正的,也许宇宙是有限的吧。

三、微观世界

1、原子

以前人们认为世界的物质有几种不可分割的原子组成,比如金木水火土。
所以几千年来,无数人比如牛顿想人造黄金,水变汽油。

后来,发现所有物质都是由90多种自然化学元素组成,人类通过极大的能量也可以人工合成了不少元素。
科学家还发现,元素或者分子存在热运动,速度高的相当惊人。

随后,汤姆逊指出原子有带正电的质子与带负电的电子组成。
卢瑟福接着指出,对于一个原子来说,质子非常小,类似于太阳系,也就是外面几乎是空的,并且各个元素之间有一定的规律。
门捷列夫在卢瑟福的基础上,制定出了一个化学周期表。

通过进一步对原子的研究,发现原子有带正电荷的质子、不带电荷的中子、带带负电荷的电子组成。
玻恩称,宇宙中也存在负质子与正电子,正电子与负电子相遇时会发生湮没,并释放出大量的能量。

2、核反应

原子中的质子和中子的数量一般相差不大。
如果中子过多,中子就会释放负电子变为质子。
如果质子过多,质子就会释放正电子变为中子。
原子核内的这种电荷调整称为β 衰变。

比如铀元素就会自发衰变,释放出α粒子,最后变成铅元素。

后来卢瑟福通过α粒子来撞击其他元素,尝试进行人工触发裂变,发现这种方法是可行的。

具体来说就是,使用大量的中子撞击大元素,使得大元素裂变并发出更多的高速中子,还可以释放出大量的能力。
如果这种反应能够一触即发自动循环下去,那就可以制作核武器了。
如果这种反应能够通过人工控制保持速率,那就可以知道原子能设备了,比如核电站、核航母等等。

当然,自然元素中,只有铀 235少数几种元素具备这样的功能,由于浓度太低,衰变出的中子被其他物质吸收了,所以没办法循环裂变了。
铀 235具体如何自动循环裂变的,大家可以去查资料,里面涉及到铀 235的一些性质以及减速剂到的知识,这里不多介绍了,不然你就怎么制作出核武器了。

与核裂变相反的就是核聚变。
聚变与裂变类似,中子撞击后可以发生连锁反应。
不过聚变在很高的温度下才能进行。
所以现在只能做出不受控制的氢弹,而无法做出可控制的聚变核电站。

3、熵增

原子分子都在无序的高速运动。

当温度降低时,运动的速度也会变慢。
理论上到达绝对零度的时候,原子就会停止运动。

而温度升高的时候,原子的运动就会越激烈。
如果温度到达到达几千度,分子就不存在了,整个世界都是纯化学元素。
温度到达几百万度时,原子周围的电子会全部失去束缚。
温度到达几亿度时,原子也会破裂。

原子的运动也是有规律的。
即一切的分子无规则运动,都会朝着概率更大的方向发展,即朝着熵增的方向发展。
当最后到达平衡状态时,熵是最大的。

4、生命

比较小的生命是单细胞。
通过总结规律,可以总结出生命的规律;

1、从周围物理摄取自己需要的成分。
2、把吸收的成分转化为自己的物质。
3、体积变得足够大时,分裂为两个大小相同的自己。

按照生命的定义,那些化学反应就不能算生命了。
可是,一种称为病毒的分子,像是化学反应,又像是生命,算是一种特殊的存在。

分析一下其他生命,好像也有病毒的那种物质,即DNA或者RNA,或者称之为基因。

从基因的角度来为生命下定义可能更完备一些。
生命的延续,都是基因的延续。

想起《自私的基因》这本书,好像就是说人类被基因控制着,比如想吃淀粉或碳水化合物类甜食和性欲生孩子,都是基因为了延续自己在作怪。

四、宏观世界

1、距离

通过一种叫做视差位移的科学测距法,人们快速测出了地球与月球、太阳的距离,当然也测量了太阳系中各行星的距离。

同时,通过地球所在太阳系不同轨道的位置,人们首次测量出太阳系之外恒星的距离。

2、个数

肉眼可见的星星只有六七千颗。
普通的双筒望远镜则可以观看到 5 万颗。
口径为两英寸半的望远镜可以观看到 100万多颗。
100 英寸口径的望远镜能够观看到 5 亿颗星星。

3、形状

天上数星星的时候,人们发现星星出于一个扁平的区域,而不是四面八方都有。
后来才知道,银河系系中有 500亿颗恒星,组成了凸透镜形状区域。
而且太阳根本不处在这个大星系的中心,是位于靠近外缘的部分。

4、星云

由于星云距离银河系太远,普通的方法无法测量出他们的距离。
哈佛大学的天文学家提出了脉动星的测量法。

通过这个方法,人们发现无数个新的星系,而且各种形状都有。 由此推算出星系的大概演化过程。

根据观察,所有星云都在远离我们。
可以推测宇宙会无限地膨胀下去,而不会被它们之间的引力重新拉近。
当然,这个推测只是猜想的,可能是错的。

五、最后

读完这本书,学到不少知识,比如相对论、核物理、生命、热力学熵增、宇宙学。
感兴趣的可以看下,涉及的知识都使用科普的形式讲出来,形象易懂,很有趣。

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思考题:你有推荐的什么书吗?

《完》

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