2020 TPC 腾讯程序设计竞赛（六）

零、背景

2020 TPC 腾讯程序设计竞赛第二季开始了。

周二晚上我参加了第二季的第二场比赛。

比赛的时候，脑子卡壳了，加上代码敲的慢，每道题都做了几十分钟才做出来。
不过还好，这次比较细心，每次都是一次通过，有幸做出三道题，进入前百名。

不过也有可惜的地方，手速再快几分钟，就可以进入前 50 名。 。

意外发现，上次进入前百名获得了京东卡 50 元， 这次又进前百名，又可以得到京东卡 50 元，爽歪歪。

一、A Binary String Flipping

题意：给一个 01 字符串，我们可以选择一个区间，将所有数字反转（0变成1,1变成0），使得 0 与 1 的个数差最小。

思路：脑子卡壳了，这道题搞了四十分钟。

我们不妨假设 1 比较多，且 1 比 0 多 K个。
如果 0 比较多的时候，对整个字符串预处理反转一下。
这个时候，如果可以找到一个区间，1 比 0 多 K/2 个，那对其反转，就可以使得 0 与 1 的个数差最小了。

怎么找到一个区间，使得 1 比 0 多 K/2 个呢？
我第一时间想到的是最大区间和的思想，即使用动态规划来做这道题。
具体来说从左到右扫描区间，如果遇到 0 的个数多余 1 的，区间就重置。 由于总区间 1 的个数比较多，肯定可以找到最优答案。

当然，赛后看题解发现自己想复杂了。
既然 1 比 0 多 K 个， 那从最左边为起点，在所有的前缀中，1 比 0 多的前缀里，肯定会出现多 [1, K] 个。
也就是肯定存在某个前缀，1 比 0 多 K/2 个。
所以最简单的方法是枚举前缀即可。

二、Recruitment Plan

题意：招聘了，有 n 个候选人，会招 m 个人，其中一个是 SP。
告诉你每个候选人的招聘代价、入职后创造的价值、SP额外招聘代价、SP额外创造的价值。
问怎么选才能使得 m 个人创造的价值最大，在此基础上招聘代价应该尽量小。

思路：数据范围很小，直接暴力 dfs 即可。

当然，这道题也可以贪心做，即先排序，求前 m 个或者 M-1 个人的和，再枚举 SP 调整和即可。

三、Divisible Sequence

题目：给一个数组，如果任意子数组内都存在一个数，可以被子数组中其他数字整除，则称这个数组是可除数组。

思路：我第一时间想到的是单调栈来贪心。

可以看相邻两个数字，因为任意区间都是可除数组，所以相邻的两个数字肯定也是可除的。

相邻数字 a, b 分三种情况：

1、前面的数字大，即是 a=k * b， b。
此时 b 的所有后缀中，选择的数字如果是 b 的因子，那肯定也是 a 的因子。
如果 b 是选择的数字，那 a 也可以整除 b。
所以所有包含 a,b的子数组中，只需要判断 b 即可，a 可以直接删除的。

2、两个数字相等
这个与前面的情况类似，删除保留一个即可。

3、后面的数字大，即是a, b=k * a
此时如果 某个数字是 b 的因子，我们无法判断与 a 的关系，所以需要保存下来。

这样，我们就保存了一个递增的栈，一层循环即可解决问题。

当然，如果没想到贪心，能想到被整除的数字是子数组中的最小数字。
就可以得出最小数字是子数组的 GCD 这个结论。
然后就可以使用分治来解决这个问题。

可以证明，gcd(l, r) = gcd(gcd(l, m), gcd(m+1, r)))
即可以拆分出两个子问题，通过并查集合并或者分治合并子问题，复杂度 n log(n)。

四、Persistent String

题意：给一个字符串和三个操作。

1、在指定位置后插入一个新的字符串。
2、对于指定的子字符串，在指定位置插入若干次。
3、查询指定位置的字符。

思路：一看操作数只有几千个，我第一时间想到的就是预先输入所有数据，然后倒退计算出每个询问的位置应该映射到哪个字符上。

不过考虑到时间不多了，又发现最后一题是贪心大水题，就跳过这道题了。
后来发现，还是自己太年轻，只想到第一层。
没去想，这么多大牛，很多都是很快做出前四道题的，第五题却迟迟没做出来。
如果多想一层，假设是这么简单的贪心题，我能想到，那些大牛肯定也想到了。
但是那些大牛没做出来，说明这样贪心肯定是错的。

以后做题做事还是要多想，就像《三体》里章北海的父亲说的，“那”之前要多想。

回到这道题，既然可以预处理倒推计算，那就是一道大的模拟题了。

不过这里面也用到了不少小技巧，下面讲解一下。

小技巧1：输入了很多字符串，只告诉总长度，每个都是变长的。 这时候可以使用二维数组的指针指向一维数组的偏移量即可。

小技巧2：由于是倒推计算，循环完了可能某些查询的答案在原字符串上，还需要再判断一次。此时可以把原字符串也当做一个插入操作。

小技巧3：对于单字符串输入，很多人会遇到空白问题。这里可以使用字符串输出，字符串长度为 1 。

至于具体的模拟代码，就没啥好说的，按照题意逆着倒退即可。

就是那些偏移量，可能很多人会再也偏移不出来了吧。

五、A + B Problem

题意：给一个 01 字符串，以及需要拆分的两个子序列长度。
问怎样拆分，才会使两个子序列对应的二进制数字的和最大。

思路：第四题的时候啰嗦了几句，说自己想的太简单，放弃第四题来做贪心第五题了。

当然，当时肯定是没做出来啦。

错误的贪心方法：遍历 01 字符串。

1、如果遇到 1，则赋值给剩余 位数较多的子序列。
2、如果遇到 0，则赋值给剩余位数较少的子序列。

这样的目的是为了使 1 尽量靠前。
但是，这样的贪心做法是没法通过的。

比如对于 10111 ， 这个特殊数据，按照上面的贪心。就会拆分为 111 和 01 序列，结果是 1000。
但是如果拆分为 10 和 111 序列，答案会更优，是 1001。

之所以会这样，是由于两个子序列的高位很接近的时候，尝试给较短序列高位赋值为1，可以在更高的位数触发进位。

那什么情况会这样呢？
较短的子序列赋值 为 1 后，尝试把剩余 1 都赋值给较长的子序列，0 都赋值给较短的子序列，直到和 1 对齐触发进位。
如果可以触发进位，则这种情况会更优，否则，与上面的贪心策略保持一样。

这种特殊的情况需要向后去探测，裸写的话肯定会超时。
所以需要读数据进行预处理，在一个位置遇到 1 之后，我们能够快速找到性遍历到哪个位置才能凑齐 K 个1。

这个通过计算 1 的前缀和，然后二分查找即可实现。 当然，直接做一个 1 个数 到 下标的索引，连二分查找都不用了。

找到最优答案后，就是大整数加法运算了，这也是题目的来源。

六、最后

这次比赛的题依旧不错。

第一题：贪心或动态规划。
第二题：贪心或dfs暴力。
第三题：贪心或者线段树或者分治。
第四题：逆向模拟或者可持久化平衡树。
第五题：贪心。

好吧，这次比赛是贪心专场。

思考题：第四题能使用 RMQ 或者 ST表 来做吗？

《完》

-EOF-

本文公众号：天空的代码世界
个人微信号：tiankonguse
公众号ID：tiankonguse-code