读《从一到无穷大》

零、背景

在之前的文章提过过，本来要读《无穷大的》，结果读了《无穷小》。
不过现在已经都读了。

这本书是 60 年前写的书，不过现在看来依旧不过时。
因为书中介绍的是数学、物理、生物上的科普知识，这些已经是如今认知世界的根基。
现在我们就来看看这本书介绍了哪些基础知识吧。

一、数学游戏

1、最大的数字

以前人们认知的最大数字是有限的。

比如罗马数字，只有 7 个单位，即I（1）、V（5）、X（10）、L（50）、C（100）、D（500）和M（1000）。
想要表示一万，就需要 10 个 M，再大的数字就很长很长可读性很差了。

面对这个难题，阿基米德提出了一个办法：制定更大的单位。
假设目前最大单位是万，那么引入第二阶单位万万，即亿，第三阶引入单位亿亿。
这个方法其实和现在的科学计数法很接近了，即 10 的多少次方。

2、无穷个数字

既然数字可以很大很大，那有多少个数字呢？
回答是无穷个数字。
例如整数有无穷个，奇数有无穷个，偶数也有无穷个。

随之我们就会提出另外一个问题：无穷之间有什么关系呢？
比如无穷个奇数与无穷个偶数是不是相等的？ 比如无穷个整数是无穷个奇数的 2 倍？

面对这个问题，康托尔使用集合论定义了无穷之间的比较。
定义：给两组无穷大数列中的各个数一一配对。如果最后这两组都一个不剩，这两组无穷大就是相等的；如果有一组还有些数没有配出去，这一组就比另一组大些，或者说强些。

按照这个定义，无穷的偶数和无穷的奇数是相等的。
神奇的是，无穷的偶数与无穷的整数也是相等的。
也就是说，在无穷的世界中，部分可能等于全部。

当然，也存在一个大于另一个的情况。
比如线上的点大于整数的个数。
在此基础上继续分析，还可以得出平面上所有的点数和线段上所有的点数相等的结论。
感兴趣的同学可以自己尝试证明一下。

康托尔对这些无穷集合进行了分析分组，发现目前能想到的所有无穷集合可以分为三类。
第一类是整数、分数类，第二类是线、面、体类、第三类是几何曲线类。

3、数论

数论中最出名的就是哥德巴赫猜想，即所谓的1+1=2问题。
具体来说，就是任何一个偶数都能表示为两个质数之和。

1931 年，苏联数学家证明了每个偶数都能表示为不超过 30W 个质数之和，后来另一个苏联数学家证明了每个偶数能表示为不超过 4 个质数之和。

既然不能证明这个问题，能不能看看整数与质数之间的关系呢？
还真发现一个关系，即前 N 个整数内，有 ln(N) 个质数。

不过之后就没然后了，至今也没证明出这个哥德巴赫猜想。

二、空间与时间

1、时间等价于空间

我们身处三维世界，能够体会到三维空间，也可以看到二维平面和一维线。

那如果宇宙是多维的，比如四维，长什么样子呢？
大家都想象不出来。

有人假设时间是第四维空间，这样我们可以稍微想象出来一些迹象。
比如每个三维物体都随着第四维时间在变化，而固定一个时间点，我们可以看到一个确定的三维物体。

这个看起来确实不错，不过这个第四维与其他三维不同的是，第四维只能超一个方向发展，而且不受其他因素影响。
比如平常的三维，可以任意的左右移动，而时间则不能移动。

另一个区别是，其他三维的单位都是长度，而第四维是时间，单位不统一。
那时间与长度有啥关系呢？
时间乘以速度等于长度。
所以第四维需要一个标准速度，然后就可以转化为长度了。

标准速度作为时空转化的基本因子，肯定不能受人类主观意志和客观物理环境影响。
满足这个要求的就是大家都知道的光速。

17世纪，伽利略曾使用人眼测量过光速，不过由于人类反应导致的延迟比较大，计算的结果与实际差距很大。
1675 年，丹麦天文学家雷默利用木星卫星的蚀时现象，计算出了光速。
再后来，人们使用齿轮高速旋转，短距离上计算出了光速。

2、四维距离

把时间加入三维空间后，每一个点我们称为一个事件，即某个时间某个地点的状态。

接着人们便想，四维之间的距离如何计算呢？
由于时间与空间的巨大差异，距离上也应该体现出这个差异了。
于是家闵可夫斯基认为，时间可以表示为虚数，即时间的平方为负数。

通过一顿距离计算，我们发现在短距离上，两个事件的距离是虚数，即是很小的时间。
而在宏观维度，比如宇宙星系的距离上，事件的距离就是实数了，这时候时间就转化为三位空间了。

接着，迈克尔逊通过日食寻找以太，没找到。
斐兹杰惹提出，也许运动的物体会进行一定的斐兹杰惹收缩，这种收缩就会使计算出来的结果没有偏差，即永远找不到以太。

速度较快时空间会收缩，事件的距离不变，那时间维度就会变大，即时间变慢了。
时间变慢意味着，我们坐着光速飞船出去飞了一天，回来后地球上可能已经过了一年了。

PS：中国的神话故事天上一天地上一年从哪来的？
难道以前真有外星文明，而且古人做过飞船？

3、引力

爱因斯坦提出，质量使得物体周围的空间弯曲，这种现象人类称之为重力或者引力。

一个空间，有两种弯曲。
一种是球形弯曲，即正曲率。
另一种是马鞍面，即负曲率。

通过研究空间的曲率，我们就可以判断宇宙是有限的还是无限的了。
而在宏观世界里，通过观察，发现曲率是正的，也许宇宙是有限的吧。

三、微观世界

1、原子

以前人们认为世界的物质有几种不可分割的原子组成，比如金木水火土。
所以几千年来，无数人比如牛顿想人造黄金，水变汽油。

后来，发现所有物质都是由90多种自然化学元素组成，人类通过极大的能量也可以人工合成了不少元素。
科学家还发现，元素或者分子存在热运动，速度高的相当惊人。

随后，汤姆逊指出原子有带正电的质子与带负电的电子组成。
卢瑟福接着指出，对于一个原子来说，质子非常小，类似于太阳系，也就是外面几乎是空的，并且各个元素之间有一定的规律。
门捷列夫在卢瑟福的基础上，制定出了一个化学周期表。

通过进一步对原子的研究，发现原子有带正电荷的质子、不带电荷的中子、带带负电荷的电子组成。
玻恩称，宇宙中也存在负质子与正电子，正电子与负电子相遇时会发生湮没，并释放出大量的能量。

2、核反应

原子中的质子和中子的数量一般相差不大。
如果中子过多，中子就会释放负电子变为质子。
如果质子过多，质子就会释放正电子变为中子。
原子核内的这种电荷调整称为β 衰变。

比如铀元素就会自发衰变，释放出α粒子，最后变成铅元素。

后来卢瑟福通过α粒子来撞击其他元素，尝试进行人工触发裂变，发现这种方法是可行的。

具体来说就是，使用大量的中子撞击大元素，使得大元素裂变并发出更多的高速中子，还可以释放出大量的能力。
如果这种反应能够一触即发自动循环下去，那就可以制作核武器了。
如果这种反应能够通过人工控制保持速率，那就可以知道原子能设备了，比如核电站、核航母等等。

当然，自然元素中，只有铀 235少数几种元素具备这样的功能，由于浓度太低，衰变出的中子被其他物质吸收了，所以没办法循环裂变了。
铀 235具体如何自动循环裂变的，大家可以去查资料，里面涉及到铀 235的一些性质以及减速剂到的知识，这里不多介绍了，不然你就怎么制作出核武器了。

与核裂变相反的就是核聚变。
聚变与裂变类似，中子撞击后可以发生连锁反应。
不过聚变在很高的温度下才能进行。
所以现在只能做出不受控制的氢弹，而无法做出可控制的聚变核电站。

3、熵增

原子分子都在无序的高速运动。

当温度降低时，运动的速度也会变慢。
理论上到达绝对零度的时候，原子就会停止运动。

而温度升高的时候，原子的运动就会越激烈。
如果温度到达到达几千度，分子就不存在了，整个世界都是纯化学元素。
温度到达几百万度时，原子周围的电子会全部失去束缚。
温度到达几亿度时，原子也会破裂。

原子的运动也是有规律的。
即一切的分子无规则运动，都会朝着概率更大的方向发展，即朝着熵增的方向发展。
当最后到达平衡状态时，熵是最大的。

4、生命

比较小的生命是单细胞。
通过总结规律，可以总结出生命的规律；

1、从周围物理摄取自己需要的成分。
2、把吸收的成分转化为自己的物质。
3、体积变得足够大时，分裂为两个大小相同的自己。

按照生命的定义，那些化学反应就不能算生命了。
可是，一种称为病毒的分子，像是化学反应，又像是生命，算是一种特殊的存在。

分析一下其他生命，好像也有病毒的那种物质，即DNA或者RNA，或者称之为基因。

从基因的角度来为生命下定义可能更完备一些。
生命的延续，都是基因的延续。

想起《自私的基因》这本书，好像就是说人类被基因控制着，比如想吃淀粉或碳水化合物类甜食和性欲生孩子，都是基因为了延续自己在作怪。

四、宏观世界

1、距离

通过一种叫做视差位移的科学测距法，人们快速测出了地球与月球、太阳的距离，当然也测量了太阳系中各行星的距离。

同时，通过地球所在太阳系不同轨道的位置，人们首次测量出太阳系之外恒星的距离。

2、个数

肉眼可见的星星只有六七千颗。
普通的双筒望远镜则可以观看到 5 万颗。
口径为两英寸半的望远镜可以观看到 100万多颗。
100 英寸口径的望远镜能够观看到 5 亿颗星星。

3、形状

天上数星星的时候，人们发现星星出于一个扁平的区域，而不是四面八方都有。
后来才知道，银河系系中有 500亿颗恒星，组成了凸透镜形状区域。
而且太阳根本不处在这个大星系的中心，是位于靠近外缘的部分。

4、星云

由于星云距离银河系太远，普通的方法无法测量出他们的距离。
哈佛大学的天文学家提出了脉动星的测量法。

通过这个方法，人们发现无数个新的星系，而且各种形状都有。 由此推算出星系的大概演化过程。

根据观察，所有星云都在远离我们。
可以推测宇宙会无限地膨胀下去，而不会被它们之间的引力重新拉近。
当然，这个推测只是猜想的，可能是错的。

五、最后

读完这本书，学到不少知识，比如相对论、核物理、生命、热力学熵增、宇宙学。
感兴趣的可以看下，涉及的知识都使用科普的形式讲出来，形象易懂，很有趣。

PS：回复“从一到无穷大”获取 pdf 电子书。

思考题：你有推荐的什么书吗？

《完》

-EOF-

本文公众号：天空的代码世界
个人微信号：tiankonguse
公众号ID：tiankonguse-code