从零开始学算法：4.二分查找

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一、背景

大家好，我是tiankonguse。
由于某些原因，经常有人想学习算法但之前又没有相关经验，不知道从何做起。
我思考了许久，计划写一个系列来分享如何入门学习算法。

之前已经分享了《认识算法》、《了解套路长啥样》、《排序算法》，这是第四篇。
本来还不知道分享什么。工作中别人交接给我了一个项目，简单看之后发现二分查找算法竟然写错了，虽然没有死循环，但是查找的定义不明确（有时候返回大于的值，有时候返回小于的值）。
这篇文章就分享一下二分查找吧。

二、基本知识

二分查找是一个很常见的算法，主要用来在有序的数组中查找指定值的位置。
这个特定的含义不仅仅是等于，还可以是第一个大于和第一个大于等于的位置。

以数字为例，具体问题就是：
1.指定数字的位置？
2.首个大于等于指定数字的位置？
3.首个大于指定数字的位置？
4.最后一个小于指定数字的位置？
5.其他情况

正常情况下，我们可以通过遍历有序数组来做到这些，不过他们的复杂度将会是O(n)。
而二分查找的思路是不断的计算一个中间节点，通过判断中间阶段快速将查询空间减半。

下面以增序数组为例，分别来看看各种情况吧。

三、查找数字的位置

对于精确查找位置这个，可能会面临几种情况：1.不存在，2.存在一个，3.存在多个。
所以问题又转化为了查找数字首次出现的位置和最后一个出现的位置。

先来看看首次出现的位置的代码吧。

我们可以定义left和right是全闭合的区间，这样就可以精确的控制left和right的位置了。
如果mid小于value，可以确定答案肯定不在[left, mid]，所以我们应该去[mid+1, right]查找。
如果mid大于value，可以确定答案肯定不在[mid, right]，所以我们应该去[left, mid-1]去查找。
如果mid与value相等，我们就不好确定子区间如何划分了。

不过还好，一般情况下 mid < right 的（思考题1：为什么），所以我们可以大胆的把right设置为mid，使得区间范围继续变小。只有一种情况下 mid 等于right，那就是 left 也等于 right，此时已经找到答案了。

而对于查找最后一次出现的位置这个问题，只需要修改上图的一行代码即可（思考题2：怎么修改）。

四、查找首个大于等于指定数字的位置

上面讲的是等于的情况，对于不存在的返回了-1。
而对于大于等于的情况，其实会发现更简单，不信看代码，和等于的少了几行代码。
由于太简单了，是不是都没啥说的了。

五、查找首个大于指定数字的位置

对于首个大于的数字的位置，你看完下面的代码肯定会惊呆的。
再给你们出个问题吧，这个代码与查找首个大于等于的代码有什么区别呢（思考题3）？

六、最后一个小于指定数字的位置

前面的两个例子是首个小于和首个小于等于的，并且两个代码极为相似。
所以这里只展示一下最后一个小于的代码，而对于最后一个小于等于的，留作思考题，大家来思考下差异在哪里（思考题4）。

对于最后一个小于的查询，我们对区间的定义稍微变化一下，这里改为右边是开区间。
改之后，你会发现代码和上面的代码几乎一样。
这里再出一道思考题，如果这里使用闭区间会有什么问题，该如何解决呢（思考题5）？

七、其他查找情况

首个等于、最后一个等于、首个大于、首个大于等于这四种情况看完了，其他的情况其实都是变种，不过对于最后一个小于我还是简单介绍了。

下面来看看其他情况吧。
对于首个小于或首个小于等于的查找，直接比较第一个即可。
对于最后一个大于或最后一个大于等于的查找，直接比较最后一个即可。
对于最后一个小于的查找，等价于首个大于等于的位置减1，当然不存在的需要特殊判断（第六小节讲解了）。
对于最后一个小于等于的查找，等价于首个大于的位置减1，不存在的特殊判断即可（第六小节修改一个地方）。

这样我们就把增序的所有情况都分析完了。
回头再看看上面的几个代码，可以发现除了查找等于的有点特殊，其他的都类似，模板如下：

总结一下就是这样：
查询首个或最后一个XX的问题，也就是查询满足需求的最小或最大位置问题。
根据 mid 不满足需求的情况，我们可以直接确定其中边界。
而对其其他的情况，我们需要判断是否得到答案，没得到则确定另一个边界。

八、尾语

看完上面我整理的模板，是不是发现二分查找竟然如此简单？

不过有一点我还是需要强调一下。
对于首个相关的查找，我们使用的右闭区间。
而对于最后一个相关的查找，我们使用的是右开区间。
这样做得目的是使得所有的查询都最简单。

当然所有地方都使用右闭区间或右开区间也没问题。
但是需要多考虑几种情况，恰恰是这些情况，很多人考虑不充足导致二分查找死循环。
另外有人可能发现了死循环，会加更多的特殊判断，这样虽然不会死循环了，但是可能导致二分查找的定义不明确。
死循环和定义不明确是二分查找最常见的问题，希望大家尽量能够避免。

最后，上面给大家出的思考题希望大家也想想。
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本文首发于公众号：天空的代码世界，微信号：tiankonguse-code。