自己实现正则表达式

零、背景

作为一个合格的程序员，日常工作中使用正则表达式应该是常态。
那你有没有想过正则表达式是如何实现的呢？

刚好，leetcode 上有一个简化版的正则表达式题目，我们来看看吧。

一、题意

给一个正则表达式，由小写字母、*、?组成。

*代表匹配任意字符串，包括空字符串。
?代表匹配任意一个字符。

问正则表达式是否匹配输入的纯小写字母字符串。

二、基本做法

我们不去管正则表达式，就按题目的要求去作者道题的话，会发现这是一个动态规划题。

比如从前到后看，可以定义函数f(l, r) 代表判断以l位置开始的字符串是否与以r位置开始的正则表达式。
其中入口是f(0, 0)。

这里有很多状态转移和出口。

1、l和r都结束，则匹配
2、l未结束，r结束，则不匹配
3、l结束，r未结束，则r后面全为*时匹配，否则不匹配。
4、如果l与r相等或者r是为?，则判断f(l+1, r+1)
5、如果r不为*，则不匹配。
6、此时r是*，如果r是最后一个字符，则匹配。
7、依次假设*的长度为L=0~MAX，检查f(l+L, r+1)，只要一个匹配则算匹配。
8、否则当前函数不匹配。

复杂度：O(nm)
其中n是字符串的长度，m是正则的长度。
由于正则一般不会很长，这个算法还可以接受。

四、优化

可以发现，当正则匹配时，其实速度很快，马上结束了流程。
而不匹配的时候，需要回溯继续匹配，这导致最终复杂度是O(nm)

可以发现，正则里是字母或者?时，不需要回溯，只需要判断f(l+1,r+1)。
而正则是*时，才是产生O(nm)的根本原因。

如果我们可以减少*的话，回溯次数就会减少。

比如连续的*按一个处理，这些都是初级的优化。

这里还有一个高级的优化，可以大大降低不匹配时的均摊复杂度。

比如对于输入串是S0 S1 S0 S1 S3，正则是* S1 * S2。
最终结果是不匹配。

则匹配到第一个S1后，会判断f(S0 S1 S3, * S2)，然后得出结果不匹配。
匹配到第二个S1后，会判断f(S3, * S2)，最终得出的还是不匹配。

其实匹配第一个S1后结果是不匹配，则可以确定整个串不匹配了。
这样计算量直接减少一半，如果*多了，可以减少大量的务必要的判断。

那为什么可以确定后面肯定不匹配呢。
这里可以使用反证法。

假设第一个不匹配，第二个匹配，即第二个S1后，f(S3, * S2)匹配。

由于S0 S1 S3和S3相比，只是多了一个前缀，这个前缀可以用* S2的*来消除。
因此f(S0 S1 S3, * S2)也是匹配的。

假设不成立，所以之后肯定不会匹配。

由此，可以愉快的使用这个优化了。

代码如下。

五、最后

好了，初级的正则表达式就介绍到这里了。

这里主要分析了基本的动态规划方法，还介绍了多个*时的一个不错的剪枝策略。

剪枝策略你看懂了吗？
关于进一步优化，你是不是想到了KMP呢？
有什么思路吗？

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