读《无穷小》

一、背景

本来计划读《从一到无穷大》的，却阴差阳错的读了《无穷小》。

既然打开了这本书，那就是一种缘分。

于是花了两周时间，大概12小时30分钟阅读完了这本书。

二、主题

说实话，这本书写的比较混乱。

可能是因为我对欧洲史、基督教史、欧洲地理不熟悉，使得阅读变得更加困难。

不过我通过记录大量笔记，还是把整个故事线梳理清楚了。

总的来说，这本书的主题是在牛顿和莱布尼兹发明微积分之前，无穷小这个概念的发展历程。

三、独裁的几何学

早在公元前时期，古代圣贤芝诺、毕达哥拉斯、柏拉图、亚里士多德、欧几里得就曾经研究过无穷小问题。
但是研究之后发现存在悖论，因此认为无穷小概念是错误的，在所有地方都避开了无穷小。

常见的悖论是 兔子永远追不上乌龟 和 飞矢不动。

随后的一千多年里面，大家都遵循着欧几里得的几何体系来发展几何学。
数学，尤其是欧几里得的几何学变成了绝对真理。

…

16世纪，天主教分裂出了新教，人们逐渐对天主教产生动摇。
一个叫做依纳爵的小伙子创造了一个团体，简称 SJ。

这个 SJ 团体的目标是传播天主教的教义、扩大影响范围、增强权威性。

由于要加入这个团体需要几年到几十年的学习与洗脑培训，一旦正式加入这个团体，就会成为这个团体的一份子。
在这个团体里，遵循着严格的等级制度。
上级提出一个任务，下级会无条件的付出终生来为之努力。

后来，SJ 开始在全球开办学校，成员得到迅速扩大。
起初数学在 SJ 的学校是不被重视的，因为人们认为数学根本不能算一个学科。

一个 SJ 数学家一直想为数学的未来做点什么，可是由于权力不够，提出的申请总是不能通过。
恰在此时，教皇的一个决定，改变了数学的命运。

大家都知道，一年不是 365 天，而是 365天10分48秒。
由于这个误差，使得旧的日历运行几百年后，误差就会非常大。

为此教皇希望制定一个新的历法，解决这个误差问题。
于是这个 SJ 数学家站了出来，并制定了我们现在的阳历日历，即 4 年一闰年，100年不瑞年，400年再闰年。

好消息是，有了这次机会，这个 SJ 数学家一口气把数学这个学科提到了最高地位。
坏消息是，由此，这个 SJ 数学家给数学打上了一个标签：严谨、正确、永恒、不可抗拒。

这个 SJ 数学家还通过 欧几里得几何学来证明，天主教就像几何学一样，是确定性的，是权威的，不容置疑的，是无法反驳的。

实际上，现实生活中有很多问题都不是简单的几何问题。
此时也就没办法通过简单的几何学来解决生活中的现实问题。

所以，有不少人提出通过无穷小可以解决很多现实问题，比如抛物线问题。
大家最熟悉的应该就是伽利略了，除了这个大咖外，其实托里切利和卡瓦列里也做出了重大贡献。

由于无穷小说打破了几何学的确定性与研究性，天主教的 SJ 团体决定测地封杀无穷小说。

伽利略创造性的来尝试解释：也许我们之前对圣经的理解是不恰当的，无穷小说并不与圣经矛盾。

天主教的 SJ 团体说：我不听，所有人都听着，全部禁止宣传无穷小说，否则终生监禁。

就这样，在天主教的法令下，伽利略被终生监禁，罗马这个圣地失去了数学的影子。

四、自由的几何学

上一小节我们看到，无穷小学说在天主教的暴力镇压下，全军覆没了。

不过 16 世纪不像罗马帝国那样统治整个欧洲，天主教的势力范围也是有限的。
因此无穷小说有机会在天主教势力范围之外得到研究与发展。

故事还是需要从英国内战讲起。

1642年至1651年英国发生了持续 10 年的内部战争，所有人都感到痛苦不堪。
于是有两个人在思考到底该怎样才能避免内战，让国家永远和平的运行下去。

第一个人是霍布斯，英国王子的家庭教师，内战期间逃亡到欧洲大陆。

霍布斯无意间看到了欧几里得的《几何原本》，他被《几何原本》里面严格的逻辑所着迷。
人到中年的他开始自学数学，并最终走上了天主教 SJ 团里的旧道路，即认为 几何学是严谨的、不容置疑的。

最后，他还写了一本宏伟的著作《利维坦》，大概在于证明，假设所有人都像欧几里得的几何学那样具有严谨性与确定性，那么所有人形成的团体与国家也会是严谨性和确定性的。

既然整个国家都是确定性的，就不会存在内乱。
所以这样的国家也会永远和平。

当然，我们知道，这个证明的出发点，即假设就不成立。所以结论也就无从谈起了。

…

第二个人是沃利斯，一个贫民窟里出来的人，坚信真理来自于实验与生活。

沃利斯在弟弟学习数学的时候，认识到数学，便开始自学数学。
一次意外的机会，沃利斯帮助一位皇室人员破解了敌方的信件，自此，沃利斯便在众人面前站了起来。

沃利斯经历内战后，得出一个结论：之所以会内战，是因为大家不够宽容，容不下其他人的观点；能解决问题的观点都应该是好观点。

也就是说，沃利斯是以实际结果为导向的，无数传统几何无法解决的几何问题，沃利斯都通过无穷小解决了。

那时候，他们也成立了皇家学院后，经常公开做实验。
做实验前，大家会有各自的观点，但是实验之后，观点需要遵循实验结果，否则就应该修正或者抛弃。

皇家学院的特普拉特更是总结到。

教条主义哲学的问题在于，“它通常会产生这样一种人，他们自认为已经解决了问题，并且不会再改变自己的观点，他们变得更加专横，并且对反对观点不屑一顾”。这种态度对科学是有害的，因为“这会使他们易于低估别人的劳动，并容易忽略别人的优点。至少，他们应该把自己放低一些”。

斯普拉特继续说道，“这是一种精神上的戾气，这是最有害的”。他把这种戾气归结为“人们知识增长缓慢的原因”。

斯普拉特指出，实验主义“能消除思想中的所有傲慢以及不断膨胀的幻想”，教会人们努力地工作，承认自己的失败，承认他人的贡献。

看，这是多么有智慧的总结。

自此，在皇家学院的带领下，出现了一系列科学家，比如牛顿。
再之后，英国也发生第一次工业革命，由此走上了全球霸主的地位。

五、最后

这本书的全称其实是《无穷小：一个危险的数学理论如何塑造了现代世界》。

无穷小为啥危险呢？为啥有塑造现代世界呢？
看了上面的介绍，我们应该都明白了。

天主教的中心城市罗马本是科学圣都。
但是由于无穷小危害到天主教的根基，由此天主教全面封杀了无穷小(此时我想起了一本小说《达分期的密码》)。
之后，罗马便慢慢从世界舞台没落了。

内战后的英国，在思考如何避免内战的过程中，宽容的接受一切的学说。
但是一切都需要经过试验证明。
于是，无穷小在英国成长壮大，直到遇到牛顿，之后才在全世界正名。

这里面还可以看到一个道理：专制与独裁的坏处。
专制与独裁导致思想禁锢，会阻碍科学的发展，从而导致技术进步变得非常缓慢。

思考题：你怎么看待专制与科学这个关系？

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