leetcode 第 217 场算法比赛

零、背景

这次比赛有点难度，但是想想还是可以做出来的。

一、最富有客户的资产总量

题意：给出每个客户每个账号里的资产，求资产最大的客户的资产。

思路：每个客户得资产求和，取最大值即可。

源代码：
https://github.com/tiankonguse/leetcode-solutions/blob/master/contest/217/A.cc

二、找出最具竞争力的子序列

题意：给一个长度为 n 的数组，求长度为 k 的子序列，使得子序列字典序最小。

思路：一个一个数字来看。

首先第一个数字可选的位置范围是 [1, n-k+1]。
目标是选出这个范围的第一个最小值。

假设选择的是位置k1，则第二个数字的可选范围是 [k1+1, n-k+2]。
目标依旧是选出这个范围的第一个最小值。

由此可以想到一个数据结构可以快速求区间最小值，即线段树。

我当是写了一个可以返回下标的最小值线段树通过了。

源代码：
https://github.com/tiankonguse/leetcode-solutions/blob/master/contest/217/B.cc

赛后想，能不能使用更简单的方法来做呢？
毕竟这是 leetcode 的第二题，不能使用线段树这种 hard 级别的数据结构。

通过分析答案之间的关系，发现子序列的前半部分是递增的。
由此可以想到使用单调性这个性质来做这道题。

具体来说，对于前面可选的数据范围，数字需要保持单点非递减。
依据时 ，在可以任意选择的数字里面，后面遇到一个更小的数字，前面那些较大的数字不可能被选择，所以需要删除。

源代码：
https://github.com/tiankonguse/leetcode-solutions/blob/master/contest/217/B02.cc

三、使数组互补的最少操作次数

题意：给一个长度为偶数的数组，每一次操作可以选择一个数字设置为[1,limit]之间的数字。
问最少需要多少次操作，才能使得所有的s[i] + s[n-i+1]的和相等。

思路：初步看这道题，只能想到枚举和，然后判断这个和的操作次数。
复杂度O(n^2)

枚举每个和，计算每对数字的代价，画出这个n*n的矩阵。
可以发现，对于每对数字，有一个和代价是0，两个区间的代价是1，两头的代价是 2。

另两个数字为 a 和 b 且 a<=b。
具体公式如下

2: [b+limit+1, 2*limit]
1: [a+b+1, b+limit]
0: [a+b, a+b]
1: [a+1, a+b-1]
2: [2, a]

对于每个枚举和，我们其实是求矩阵一行的操作数和。
最终的目标是求最小的和。

这样，我们可以发现这是一个区间操作问题。

可以[2, 2*limit]区间，每个数字会对这个区间进行 5 个区间加相同值得操作。
最终求区间的最小值。

这个可以直接套用线段树或者树状数组解决。

源代码：
https://github.com/tiankonguse/leetcode-solutions/blob/master/contest/217/C.cc

其实，对于若干区间加减操作，一次前缀和查询的场景，可以使用差分数组来解决。

差分的具体介绍大家可以看下面这个文档
https://oi-wiki.org/basic/prefix-sum/#_6

其实，树状数组的区间操作就是使用差分实现的。
后面我也会升级我的树状数组模板，支持区间操作。

四、数组的最小偏移量

题意：给一个数组，可以按下面的规则对数组的数字做任意次操作。

1）如果数字是偶数，可以除 2。
2）如果数字是奇数，可以乘 2。

问通过若干次操作后，使得数组里任意两个元素之间的最大差值最小。

PS：这里两个元素之间的最大差值误导了我，导致我理解错题意了。
我理解为求相邻的两个元素之间的差值最小。

思路：根据两个操作可以发现两个性质。

1）对于偶数，可以一直除，直到遇到奇数，顶多log(n)个。
2）对于奇数，只能乘一次，得到偶数，顶多 2 个。

由此，可以根据这两个性质，得到一个二维矩阵，每一行是数组中数字可以操作的数字。
矩阵的大小顶多为n * log(n)

我们的目标是从上到下选择一条路径，使得路径上的最大值与最小值差值最小。

对于奇数，可以证明，我们先预处理转化为偶数最优答案不变（可以操作无数次）。
所以这里可以先预处理输入，是的所有输入都是偶数，只能越操作越小。

预处理之后，所有数字只能越操作越小。
由于需要使最大值与最小值差值最小，那只能优先操作最大的值。
毕竟这样才有可能使最大的差值变小，

于是这道题的方法就出来了。

维护一个可以得到最大值和最小值的数据结构，不断的找到一个找到最大值做除 2 操作，并更新答案。
当最大值是奇数的时候，就不能再操作了。

我选择的数据结构是 set。

源代码：
https://github.com/tiankonguse/leetcode-solutions/blob/master/contest/217/D.cc

当然，这道题也可以使用线段树来操作，即单点更新，区间查询。
具体方法是讲矩阵展开，即线段树有n log(n)个节点。
删除最大值的时候，就将对应下标的值设置为 无效，然后将另一个下标的值设置为除 2。

五、最后

这次比赛的题比较有质量，竟然遇到三个线段树，你可以用来练习线段树了。

PS：周六尝试参加了 atcode 比赛，从第一题开始，题目就看不懂。
以为是例外，看了第二题，题目依旧看不懂。
又看了第三题，还是看不懂。
最终花了好久才看懂这些题的含义，不过最后还是放弃比赛了。

加油，算法人。

《完》

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